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Gastbeitrag von Dr. Christian Sievi - Coronavirus aus mathematischer Sicht

Corona: Inzidenz dauerhaft unter 35 – alles gut?

Dr. Christian Sievi ist Diplom-Mathematiker und als freiberuflicher Wirtschaftsmathematiker bundesweit tätig.
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Dr. Christian Sievi

Mittlerweile liegt der Inzidenzwert im Landkreis Rosenheim unter 30 - ist damit jetzt alles wieder gut? Diplom-Mathematiker Dr. Christian Sievi klärt auf.

Rosenheim - Mit Stand vom Sonntag (6. Juni) liegt der Landkreis Rosenheim bei einer 7-Tagesinzidenz von 27,9 nun schon seit mehr als einer Woche unter der Marke von 35, die bisher als Grenze für weitere Öffnungen diente. Auch die Stadt Rosenheim hat mit 29,5 nun schon zum dritten Mal diese Grenze unterschritten. Auch das Land Bayern, alle Bundesländer und damit auch ganz Deutschland haben dies geschafft. Bundesweit hat kein einziger Landkreis eine Inzidenz, die 100 überschreitet. Der R-Wert ist aktuell ca. 0,85 (Mittelwert letzte Woche), d.h. 100 Infizierte stecken nur noch 85 weitere Menschen an. 

Nichts spricht aktuell dagegen, dass dieser Trend anhält und wir noch niedrigere Werte erreichen, vor allem auch weil immer mehr Menschen schon einmal (ca. 45 % Erstgeimpfte) oder sogar vollständig (ca. 20 %) geimpft sind. Die einzige aktuell drohende Gefahr sind neue Virusvarianten, bei denen die Impfung nicht oder nur teilweise wirkt. Hier heißt es beobachten und bei stärkerem Auftreten sofort reagieren, aber nicht zu paniken.

Ist damit alles gut? Die neueste Regelung in Bayern gibt nun sehr große Freiheiten sogar ab einer Inzidenz von unter 50 zurück, die frühere obere Grenze von 35 ist verschwunden. Können wir uns ohne Maske bewegen und auch in geschlossenen Räumen gefahrlos essen und tagen? Oder laufen wir dabei nicht nur in die Gefahr einer nächsten Welle mit erneuter Notbremse, sondern auch persönlich ungeimpft zu erkranken? Denn das Robert Koch-Institut stuft die Gefahr für Deutschland immer noch als „hoch“ ein. Es lohnt sich, hier genauer hinzuschauen!

Zunächst freut es mich, dass die früher massiv vorgebrachte Kritik an der 7-Tagesinzidenz (siehe meinen letzten Beitrag zum Zusammenhang von Testanzahl und Inzidenz) nun kaum noch geäußert wird. Wohl auch deshalb, weil die Zahlen für diejenigen, die viel früher „öffnen“ wollten, nun die Öffnung erlauben. Dennoch ist besonders in der aktuellen Situation Kritik an der Inzidenz als Maßstab angebracht, die früher zwar auch berechtigt, aber für die zu treffenden Maßnahmen nicht entscheidend war.

Inzidenz ist nur ein Mittelwert über alle Alters- und Bevölkerungsgruppen!

Die aktuelle Inzidenz von 27,9 / 29,9 im Landkreis / der Stadt Rosenheim bzw. 26,3 im Bund ist der Durchschnitt über alle Alters- bzw. Bevölkerungsgruppen. Berechnet wird die Zahl als Summe der Neuerkrankungen in den letzten 7 Tagen bezogen auf jeweils 100.000 Personen der Bevölkerung im Landkreis, der Stadt bzw. Deutschlands. Das heißt aber nicht, dass die Erkrankungen in allen Alters bzw. Bevölkerungsgruppen prozentual gleich hoch sind. Es hat sich von Beginn der Epidemie an herausgestellt, dass das Erkrankungsrisiko ebenso wie die Schwere der Erkrankung und das Todesfallrisiko umso höher war, je älter der Patient bzw. die Patientin ist. Das heißt, dass die Inzidenz nach Alter unterschiedlich ist. Jeden Mittwoch veröffentlicht das Robert-Koch Institut (RKI) deshalb eine Tabelle, in dem die durchschnittliche Inzidenz der letzten Kalenderwoche pro Altersgruppe in Altersschritten von 5 Jahren dargestellt wird. Hier wird die Anzahl der neu Erkrankten in den letzten 7 Tagen in der jeweiligen Altersgruppe auf die Anzahl der Personen in dieser Altersgruppe bezogen. Eine entsprechende Tabelle für Rosenheim wäre wegen zu kleiner Fallzahlen zu ungenau und ist deshalb nicht sinnvoll. Für die hier wesentlichen Aussagen reichen die bundesweiten Zahlen.

Inzidenz pro Altersgruppe

In Abbildung 1 ist die Tabelle des RKI (siehe jeweils Mittwoch unter https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Gesamt.html) für den Zeitraum ab Januar 2021 in eine Grafik für ausgewählte Altersgruppen umgesetzt. Auf der Zeitachse sind die Kalenderwochen dargestellt, die letzte Kalenderwoche in der Grafik ist die Nummer 21 von Montag 24.05. bis Sonntag 30.05.2021.

Abbildung 1: 7-Tagesinzidenz nach Altersgruppen

Am Auffälligsten in der Abbildung ist Verlauf der Inzidenz im Vergleich der Altersgruppe 85-89 mit der Altersgruppe 20-24:

  • In der ersten Januarwoche 2021 (Höhepunkt der „zweiten Welle“) war die Inzidenz in der Altersgruppe 85 bis 89 (und ähnlich in den Altersgruppen über 70) mit fast 400 noch am höchsten. „Erst“ auf Platz 2 folgte mit großem Abstand die Gruppe der 20 bis 24 mit einer Inzidenz von ca. 240. Alle weiteren Altersgruppen lagen zwischen 150 und 200. Hinzu kam, dass mit höherem Alter die Schwere der Krankheit und insbesondere die Todesfälle stark zunahmen. 
  • In der „dritten Welle“ ab Ende Februar / Anfang März bis nun Ende Mai 2021 hat sich dieses Bild grundlegend geändert: Die Altersgruppe 85 – 89 weist durchgehend die niedrigsten Werte auf, während die Altersgruppe 20 bis 24 gemeinsam mit den 40 bis 44-jährigen nun die höchste Inzidenz besitzt. Auch die Gruppe zwischen 60 und 64 konnte sich etwas gegenüber dem Mittelwert verbessern.
  • Aktuell (Ende Mai 2021) liegt die Altersgruppe 20 bis 24 gemeinsam mit den 40 bis 44-jährigen knapp unter der Inzidenz von 50. Der Mittelwert über alle Altersgruppen ist ca. 45. Die Inzidenz der 60 bis 64-jährigen ist 24 und die der Menschen zwischen 85 und 89 nur circa 15.

Der Grund für diese Entwicklung liegt auf der Hand: Der knappe Impfstoff wurde bis zum Ende dieser Woche primär nach Alter und Vorerkrankungen vergeben und die Altersgruppe ab 85 wurde sehr früh geimpft. Hierbei hatte schon die erste Impfung offensichtlich sehr große Auswirkungen. Aktuell (Samstag 05.06.2021) sind je nach Bundesland 70 % bis 80 % der über 60-jährigen schon einmal geimpft und 36 % bis 51 % dieser Gruppe schon zweimal. In Summe sind bei den Gruppen unter 60 Jahren je nach Bundesland nur zwischen 28 % und 34 % einmal und 11 % bis 14 % zweimal bzw. vollständig geimpft. Leider meldet Bayern diese Differenzierung nicht. Weitere Einzelheiten unter https://www.rki.de/DE/Content/Infekt/Impfen/ImpfungenAZ/COVID-19/COVID-19.html

Ansteckungsrisiko für den Einzelnen

Was bedeuten diese Zahlen für das Ansteckungsrisiko, dem der einzelne Bürger ausgesetzt ist? Wie Abbildung 1 zeigt, kommt es auf das Alter dessen an, den Sie treffen und dabei ein Ansteckungsrisiko eingehen. Selbstverständlich ist ihr Risiko einer Infektion nach derzeitigem Wissen sehr klein, wenn Sie schon einmal geimpft sind. Bei vollständiger Impfung besteht kaum noch ein Risiko. Dies gilt insbesondere auch, wenn die Person, mit der Sie sich treffen, schon geimpft oder wegen einer bereits durchgestandenen Krankheit immun ist! 

Welchen Einfluss das eigene Alter auf die Wahrscheinlichkeit der Ansteckung hat, ist unklar. Sicher ist nur, dass die Schwere der Erkrankung und deren Verlauf (auch „long Covid“) vom Alter abhängt. Sicher ist, dass ältere Menschen und insbesondere Menschen mit Vorerkrankung schwere Krankheitsverläufe erleiden. Dies darf aber nicht damit verwechselt werden, ob man sich überhaupt ansteckt. Deshalb beziehe ich das eigene Alter nicht in die Berechnung ein.

Ich nehme nun im Fortgang der Überlegungen an, dass Sie – liebe Leserin und lieber Leser – noch ohne Impfung sind und sich mit einer einzigen Person der Altersgruppe 40 bis 44 treffen. Vereinfachend rechne ich mit einer Inzidenz 50 für diese Gruppe (siehe oben). Es kommt nun darauf an, ob Sie wissen, ob die Person geimpft ist oder nicht. Drei Fälle sind zu unterscheiden:

  • Wenn Sie die Person kennen und wissen, dass sie geimpft ist oder bereits erkrankt war, ist Wahrscheinlichkeit der Ansteckung praktisch gleich Null (siehe oben).
  • Sie wissen nicht, ob die Person geimpft ist wissen auch sonst nichts über deren Verhalten. Dies ist z. B. der Fall, wenn Sie privat eine bisher unbekannte Person dieses Alters treffen (z. B. einen Handwerker, der ohne vorherigen Test und ohne Maske bei Ihnen arbeitet). Dann müssen Sie davon ausgehen, dass es sich um den „durchschnittlichen“ Menschen handelt. Für ihn gilt die statistische Inzidenz von 50 der Altersgruppe. Dabei ist eingerechnet, dass ein Teil dieser Altersgruppe bereits geimpft ist. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person infiziert ist, 50/100.000 oder ein halbes Promille (weitere Einzelheiten hierzu siehe Corona: Wie hoch ist das Risiko für den Einzelnen?). Entsprechend hoch ist bei einem „Nahkontakt“ die Gefahr der Ansteckung.
  • Sie wissen dass die Person nicht geimpft ist und sich ansonsten „durchschnittlich“ verhält. Dies ist z. B. wiederum bei einem Handwerker der Fall, der ohne Maske und Test bei Ihnen arbeitet und der Ihnen mitgeteilt hat, dass er trotz Anmeldung im Impfzentrum immer noch keinen Termin hat. In diesem Fall müssen wir noch wissen, wie hoch der Anteil der Ungeimpften in der Altersgruppe ist. Damit die Rechnung einfach bleibt, gehe ich von 50 % Ungeimpfter aus. Weil die Inzidenz laut RKI aber die Geimpften bei der Berechnung des Inzidenzwertes einbezieht, ist die Inzidenz der Ungeimpften nicht 50 (Wert mit Einbeziehung der Geimpften), sondern doppelt so hoch, also 100. Die Wahrscheinlichkeit der Ansteckung beim Nahkontakt ist also im Fall (3) 100 / 100.000 bzw. 1 Promille! 

Mit wem treffen Sie sich?

Die drei Fälle von oben zeigen, dass es für das individuelle Risiko sehr stark darauf ankommt, mit wem Sie sich treffen und wieviel Sie von der Person wissen. Ich bezeichne das im Fortgang als „Situationsspezifische Inzidenz“ Zur weiteren Erläuterung führe ich den Fall (3) von oben weiter fort. 

Bei der obigen Berechnung habe ich es als „durchschnittlich“ bezeichnet, dass sich der Handwerker schon um einen Impftermin bemüht hat. Allerdings sollte er während seiner Arbeit (insbesondere wenn Sie dabei nahe bei ihm stehen) als Ungeimpfter eine Maske tragen. Es ist also sehr schwer, den „Durchschnitt“ zu definieren. Wenn der Handwerker sich aber im Gespräch als „Corona-Leugner“ zu erkennen gibt, sich nicht impfen lassen will und sogar einen Schnelltest, den Sie anbieten, ablehnt, sollten bei Ihnen alle Alarmglocken läuten. Ob die Situationsspezifische Inzidenz dabei statt 100 nun 200 oder 500 ist, spielt keine Rolle mehr. Tragen Sie selbst dann als Ungeimpfter die Maske, öffnen Sie die Fenster und halten Sie sich so weit wie möglich entfernt auf! 

Die erste Regel für einen weiteren sinnvollen Umgang mit der Pandemie ist also, sich bei Personen, die man treffen will, möglichst über deren Meinung zu Corona und deren Verhalten hierbei zu informieren. Die Meinung „es wird schon gut gehen“ ist für die eigene Gesundheit nicht immer förderlich!

Mit wie vielen Personen treffen Sie sich?

Die Gefahr, sich anzustecken, wächst proportional zur Anzahl der Kontakte.

Abbildung 2 zeigt die Ansteckungswahrscheinlichkeit in Prozent in Abhängigkeit von der jeweils Situationsspezifischen Inzidenz und der Anzahl der Personen, die sich treffen (siehe auch: Wie hoch ist das Risiko für den Einzelnen? ).

Abbildung 2: Wahrscheinlichkeit, sich anzustecken

Beispiele zur Ansteckungsgefahr

In den folgenden drei Beispielen wird davon ausgegangen, dass Sie selbst noch nicht geimpft sind. In Stadt und Landkreis dürfen Sie sich dann mit bis zu 10 Personen aus unterschiedlichen Haushalten treffen, wobei bereits vollständig Geimpfte und bereits Genesene nicht mitgezählt werden. 

Beispiel 1: Sie treffen sich mit 9 weiteren Jugendlichen im Alter zwischen 20 und 24 Jahren, von denen Sie nicht wissen, ob sie schon geimpft sind oder nicht. Aufgrund der aktuellen Lage können Sie davon ausgehen, dass alle nicht geimpft sind. Damit brauchen Sie die altersspezifische Inzidenz von 50 (siehe Abbildung 1) nicht zu korrigieren. Sie ist mit der Situationsspezifischen Inzidenz, die für die Abbildung 2 benötigt wird, identisch. Für 10 Personen ist dort 0,5 % angegeben, für 9 Personen folgt daraus der Wert 0,45 %. Selbstverständlich sind diese Werte nur Schätzungen für den Fall, dass sich niemand vorab testet, Abstände nicht eingehalten werden, aus denselben Gläsern getrunken wird etc. 

Bei einer „Saufparty“ mit 100 ungetesteten und ungeimpften Personen im jugendlichen Alter ist das Risiko, dass man sich ansteckt, mit 4,88 % eher zu niedrig angegeben, weil nur Personen, die Corona für eine Art des Schnupfens halten, zu so einer Party gehen. An dieser Stelle möchte ich meinen Dank an die Polizei aussprechen, die derartige Gelage unterbindet und sich dabei noch beschimpfen lassen muss.

Beispiel 2: Sie treffen sich in einer Seniorengruppe mit 5 weiteren Personen. Vier davon sind geimpft, eine Person nicht. Nur von dieser Person im Alter zwischen 85 und 89 geht ein Risiko aus. Für alle Menschen dieser Altersgruppe (ob geimpft oder nicht) ist die Inzidenz 15. In der Altersgruppe gehe ich von einer Impfquote von 80 % aus. Diese 80 % tragen nicht zur Inzidenz von 15 bei. Damit im Mittelwert die Inzidenz von 15 entsteht, müssen die Ungeimpften 20 % eine 5 (=100 /20) mal so hohe Inzidenz aufweisen, also eine Inzidenz von 15 x 5 = 75. Dies ist die anzuwendende Situationsspezifische Inzidenz. Gemäß Abbildung 2 beträgt das Risiko der Ansteckung damit 0,08 % bzw. 0,8 Promille. Mit etwas Vorsicht in Form von Abstand und Lüften sollte das tolerierbar sein.

Wenn Sie aber Mitglied im Club der „Seniorinnen gegen Impfen“ sind und ein Treffen mit 10 ungeimpften Seniorinnen stattfindet, ist das Risiko rechnerisch 0,75 %. Weil Sie aber in diesem Fall einer nicht typischen Gruppe angehören, die sich sehr unvorsichtig verhält, ist das Ansteckungsrisiko sicher deutlich höher und wird 1 % überschreiten. Da hilft es nicht, dass 80 % der Altersgruppe schon geimpft sind. 

Beispiel 3: Sie planen eine private Hochzeitsfeier mit 100 Gästen, von denen 50 bereits geimpft sind. 25 von diesen ungeimpften Personen stammen aus verschiedenen Haushalten. Man kann davon ausgehen, dass die Personen aus einem Haushalt entweder beide infiziert sind oder keiner. Im Alter gehe ich von durchschnittlich 40 bis 44 aus. Die Inzidenz der gesamten Altersgruppe ist rund 50 (siehe Abbildung 1), es sind 40 % im Schnitt geimpft. Die Situationsbezogene Inzidenz ist gleich 50 x 100 / 40 = 50 x 2,5 = 125. Bei einer Anzahl von 25 Personen ergibt sich gemäß Abbildung 2 ein Risiko zwischen rund 2,5 % und 3,5 %. 

Dieses Risiko kann erheblich reduziert werden, wenn sich alle Gäste vorab testen. Wenn durch den Test 90 % der Infektionen aufgedeckt werden, ist die Situationsspezifische Inzidenz nur noch rund 10. Bei 100 ungeimpften Gästen aus 100 verschiedenen Haushalten ist das Risiko dann 1 %.

Gesamtfazit

Die obigen Beispiele zeigen, dass bislang nicht geimpfte Personen nur dann eine Schutzwirkung durch die Impfung anderer Personen haben, wenn sie Kontakt mit dem Durchschnitt der Bevölkerung haben, also mit Ungeimpften und Geimpften. Dies ist z.B. beim Einkaufen der Fall. Sehr sicher kann man sich fühlen, wenn bei Kontakten Tests vorausgehen und Hygienemaßnahmen eingehalten werden. 

Wer also vernünftig ist, die Hygieneregeln befolgt und vor allem darauf achtet, mit wem er sich trifft, ist aktuell recht sicher. Er kann hoffen, innerhalb der nächsten zwei Monate mindestens einmal geimpft zu werden. 

Gefährlich ist die Situation für Menschen, die aus irgendwelchen Gründen die Impfung ablehnen und die Regeln nicht einhalten wollen. Vor allem dann, wenn sie sich verstärkt untereinander als Gleichgesinnte treffen, wird Corona dort einen sicheren Hort haben. Lauterbach stellt zurecht fest: Wer sich nicht impfen lässt, wird Corona bekommen! Schlimm für die Gesellschaft ist, dass das Virus dadurch die Chance hat, noch lange Zeit aktiv zu bleiben und dadurch gefährliche Mutationen zu bilden.

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