Gastbeitrag von Dr. Christian Sievi: Corona-Virus aus mathematischer Sicht

Der „Herdeneffekt“: Was ist das und wie wirkt er?

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Dr. Christian Sievi ist Diplom-Mathematiker und als freiberuflicher Wirtschaftsmathematiker bundesweit tätig.

Stephanskirchen - Nichts wird zurzeit so sehr diskutiert wie der richtige Weg zur Bekämpfung des Corona-Virus. Hierfür gibt es sehr unterschiedliche Wege, die in verschiedenen Ländern auch gegangen wurden und weiterverfolgt werden. Der Ausgang dieses weltweiten Versuchs ist noch offen. Dennoch kann man voraussagen, was einzelne Wege bedeuten. Ein Gastbeitrag von Dr. Christian Sievi aus Stephanskirchen:

Zu Beginn der Epidemie war fast nur von der „Herdenimmunität“ die Rede. Diese sollte erreicht werden, ohne das Gesundheitssystem zu überlasten. Doch was ist das und wie wirkt die Herdenimmunität?


Gastbeiträge von Dr. Christian Sievi:

Im vorausgehenden Artikel wurde gezeigt, dass die Reproduktionsrate (verständlicher als Ansteckungsrate bezeichnet) die entscheidende Größe zur Berechnung des Verlaufs von Epidemien ist. Steckt ein Infizierter wissentlich oder unwissentlich 1,1 bisher Gesunde an, so ist die Reproduktionsrate gleich 1,1. Werte über 1 bedeuten, dass die Anzahl der Infizierten immer schneller wie ein Strohfeuer anwächst. Wenn es im Schnitt 4 Tage dauert, bis aus 100 Infizierten neue 110 Infizierte werden, ist die Verdopplungszeit in etwa ein Monat. Dann findet man bei 100 anfänglich Infizierten nach einem Monat 200 neue Infizierte, dann jeweils einen Monat später 400, 800, 1.600, 3.200, 6.400 und so weiter neue Infizierte.

Geht es ewig so weiter? Das kann nicht sein, denn in Deutschland leben nur ca. 80 Mio. Menschen und diese Summe ist schnell erreicht. Dann erlischt die Epidemie wie ein Strohfeuer ohne neues Stroh. Doch müssen dafür alle Menschen erkranken, damit wir Corona los sind? Die Antwort lautet: Nein!


Modellrechnung zur Herdenimmunität

Damit das verständlich wird, wird ein fiktives Beispiel gebildet, das die Logik zur Bildung der Herdenimmunität zeigt. Das Beispiel ist einfach gehalten, damit es direkt nachgerechnet werden kann. 

Angenommen, in einem Dorf leben genau 1.000 Einwohner und das Dorf liegt so abseits, dass alle Einwohner keine Kontakte nach außen haben. Nur ein einziger kommt aus der Fremde mit der fiktiven Krankheit „Cnova“ zurück. Schon am ersten Tag steckt er zwei weitere an. Dann soll er gleich wieder gesund sein und gleichzeitig immun, d. h. ein zweites Mal kann er nicht angesteckt werden. „Cnova“ ist so harmlos, dass auch keiner stirbt. Die Bewohner tun nichts zur Eindämmung und leben weiter wie bisher. Jeder Bewohner hat am Tag zwei zufällige Kontakte mit anderen Bewohnern und steckt diese an.

Die Reproduktionsrate ist im Beispiel 2,0 - ein sehr hoher Wert. Die zwei neu Angesteckten stecken nun jeder wieder zwei, also insgesamt 4 neue an. Und so geht es weiter mit 8, 16, jeweils Kranken. Soweit haben wir den Vorgang bereits im vorausgehenden Artikel beschrieben.

Jetzt greift der neue Effekt der „Herdenimmunität“: Die nun 16 Kranken treffen nach wie vor auf die 1.000 Einwohner des Beispiels und würden dabei – wären alle 1.000 Einwohner noch nicht krank gewesen, 32 neue Kranke erzeugen. Weil aber von 1.000 Personen schon insgesamt 1 + 2 + 4 + 8 + 16 gleich 31 krank waren, treffen die aktuell 16 Kranken auf 31 von 1.000 gleich 3,1 % Immune. Es erkranken also nicht 32 Personen neu, sondern nur 3,1 % weniger, also (gerundet) 31 Personen!

Im Grunde beginnt der beschriebene Effekt schon nach dem zweiten Erkrankten, weil dieser den ersten Erkrankten zwar wieder kontaktieren, aber nicht mehr anstecken kann. Rechnet man von Beginn an genau und verwendet dabei Nachkommastellen, findet man folgenden Verlauf:

Tabelle 1: Verlauf des fiktiven Beispiels „Cnova“

Tag

Infizierte, die andere Personen anstecken können

Nicht infizierte Gesunde Gesamt

Immune (früher Kranke) pro Tag, die nicht mehr angesteckt werden können.

Immune (früher Kranke) in Summe Gesamt

0

1,0

999,0

0,0

0,0

1

2,0

997,0

1,0

1,0

2

4,0

993,0

2,0

3,0

3

7,9

985,1

4,0

7,0

4

15,6

969,5

7,9

14,9

5

30,2

939,3

15,6

30,5

6

56,8

882,5

30,2

60,7

7

100,2

782,3

56,8

117,5

8

156,8

625,5

100,2

217,7

9

196,2

429,3

156,8

374,5

10

168,4

260,9

196,2

570,7

11

87,9

173,0

168,4

739,1

12

30,4

142,6

87,9

827,0

13

8,7

133,9

30,4

857,4

14

2,3

131,6

8,7

866,1

15

0,6

131,0

2,3

868,4

16

0,2

130,8

0,6

869,0

17

0,0

130,8

0,2

869,2

18

0,0

130,8

0,0

869,2

Rechenweg zum Nachvollziehen

Zur Verdeutlichung wird der fett markierte Übergang von Tag 9 auf Tag 10 nachgerechnet: Am Tag 9 sind 196,2 Personen krank, die zu 2 mal 196,2 gleich 392,4 neuen Infizierten am Tag 10 führen würden. Von den 1.000 Einwohnern sind aber am Tag 10 schon 570,7 Personen bzw. 57,07 % immun. Es werden also nicht 392,4, sondern 57,07 % weniger angesteckt. Das sind 168,4 Personen! 

Wenn nun die Reproduktionsrate berechnet wird, beträgt sie nicht mehr 2 wie am Anfang, sondern nur noch 168,4 geteilt durch 196,2 gleich 0,86! Es werden also immer weniger neue Infizierte! 

Weil immer mehr Personen schon immun und gleichzeitig immer weniger Kranke da sind, bricht die Krankheit „Cnova“ des Beispiels in sich zusammen. Dabei haben aber „nur“ 869 Personen die Krankheit durchgemacht und sind immun. Das ist die „Herdenimmunität“ bei einer anfänglichen Reproduktionsrate von 2,0.

Nur eine mathematische Spielerei?

Sie werden als Leser einwenden, dass das nur eine mathematische Spielerei ist. Was sollen zum Beispiel Nachkommastellen bei der Anzahl der Personen? Die Antwort ist, dass dadurch die Rechnung nicht nur für ein Dorf mit 1.000 Bewohnern, sondern auch für 10.000 Bewohner, 1 Mio. Bewohner, 100 Mio. Menschen eines Landes oder jede beliebige Anzahl der Bewohner gilt, wenn wir das Ergebnis in Prozent betrachten. Es sind immer rund 87 % der Bewohner, die die Krankheit durchmachen. Ferner sind alle Werte nur Mittelwerte, die in bestimmten Grenzen vom rechnerischen Verlauf abweichen können.

Varianten der Berechnung bei anderem Krankheitsverlauf und anderem Verhalten der Bewohner

Was ist aber, wenn im Beispiel "Cnova" bei den Ansteckungen nicht immer ein Kranker genau zwei Personen ansteckt, sondern es zu Abweichungen kommt? Wir betrachten im obigen Beispiel vier Fälle:

  1. Gleich am ersten Tag werden 100 Bewohner angesteckt, weil sie sich alle mit dem einen ersten Kranken treffen: Wir müssen dann die Berechnung am Tag 1 mit 100 Infizierten und einem gesunden Immunen starten. Das Ergebnis: Insgesamt werden dann 914 Personen (91,4 %) krank, also nur 45 Personen (nicht 100 Personen!) mehr. Dafür dauert es bis zur Ausrottung von „Cnova“ nicht mehr 17 Tage (siehe Tabelle oben), sondern nur 10 Tage!
  2. Die Epidemie soll in den ersten zehn Tagen wie in der Tabelle 1 verlaufen. Am elften Tag stecken sich aber nicht 88 Personen, sondern auf einen Schlag 30 Personen mehr, also 118 Personen wegen einer Versammlung an. Dann erkranken insgesamt 900 Personen, also gerundet 31 mehr. Es dauert wieder 17 Tage; bis die Epidemie vorbei ist. 
  3. Bis zum zwölften Tag soll alles wie in Tabelle 1 verlaufen. Am dreizehnten Tag treffen sich die 9 neu Infizierten gezielt mit 30 bisher noch nicht Infizierten und stecken diese an. Dann durchleiden insgesamt 906 die Krankheit. Das sind 37 mehr als in der Ausgangssituation, die 30 Unvernünftigen haben also 7 weitere Personen zusätzlich angesteckt!
  4. Wie im Fall (2) soll die Epidemie in den ersten zehn Tagen wie in Tabelle 1 verlaufen. Die Bewohner sind nun aber wegen der dauernd steigenden Krankenanzahl geschockt. Jeder Bewohner trifft nur jeden zweiten Tag einen anderen Bewohner. Oder anders ausgedrückt: Zwei Bewohner stecken nur noch einen Bewohner an. Die Reproduktionsrate ist von nun an nur noch 0,5. Dies bedeutet, dass die Zahl der Neuerkrankungen von nun an sehr stark sinkt (siehe Teil 1 der Serie). Insgesamt erkranken nun 765 Personen. Nach weiteren 4 Tagen gibt es keine neuen Erkrankungen mehr, die Epidemie ist nach insgesamt 14 Tagen besiegt.

Tabelle 2 zeigt die Verläufe im Vergleich. Als zusätzliche Größe wird angegeben, wie hoch die Maximalzahl der Kranken an einem Tag ist. Diese Größe zeigt die Belastung des Gesundheitssystems, weil mindestens ein Teil dieser Kranken im echten Fall versorgt werden muss.

Tabelle 2: Varianten des Ausgangsbeispiels der Tabelle 1

Fall:

Ausgangswerte wie Tabelle 1

(1) Am Beginn 100 Infizierte

(2) Am elften Tag 30 Kranke mehr als in Tab. 1

(3) Nach 13 Tagen 30 Kranke mehr als in Tab. 1

(4) Ab dem zehnten Tag Reproduktionsrate nur noch 0,5

Gesamtzahl der Erkrankten in Summe

869

914

900

906

765

Maximalzahl der Kranken pro Tag

196

259

196

196

169

Dauer der Epidemie bis zur Ausrottung (Tage)

17

10

17

18

14

Selbstverständlich gelten die Zahlen der Tabelle 2 nur für das Beispiel der fiktiven Krankheit "Cnova". Die Ergebnisse sind von der Wirkung und dem typischen Verlauf aber auf alle Infektionskrankheiten übertragbar, sei es die frühere Pest, die „spanische Grippe“, Ebola oder auch Masern. Eine Berechnung für Bayern und später für unsere Landkreise wird im Fortgang der Serie durchgeführt. Die allgemein gültigen Ergebnisse sind aber immer:

Allgemein gültige Ergebnisse:

  • Die Anzahl der Infizierten wächst von Beginn der Epidemie an sehr schnell und es werden immer mehr neue Kranke, solange die Reproduktionsrate größer 1 bleibt.
  • Je mehr Personen im Lauf der Zeit nicht mehr angesteckt werden können, weil sie schon isoliert oder gesund geworden sind, umso geringer wird die prozentuale Zunahme der neu Erkrankten. Voraussetzung hierfür ist selbstverständlich, dass Kranke, die gesund geworden sind, nun mindestens für eine bestimmte Zeit immun sind.
  • Ab einem bestimmten Zeitpunkt sinkt die Zahl der Neuerkrankten und schließlich kommt es zu keinen neuen Erkrankungen mehr. Dazu müssen nicht alle Menschen krank werden! Im Beispiel sind es rund 87 %, die wegen Krankheit immun werden müssen. Dann ist die „Herdenimmunität“ erreicht. 13 % bleiben von der Krankheit verschont.

In den Folgeartikeln wird gezeigt, dass die notwendige Herdenimmunität von der Reproduktionsrate abhängt. Je niedriger die ist, umso geringer ist die Anzahl der Personen, die erkranken müssen und anschließend immun sind.

  • Die Gesamtzahl der für die Herdenimmunität notwendigen Immunen ändert sich zwar, wenn gleich zu Beginn viele Menschen infiziert sind oder es im Lauf der Epidemie zu sehr starken Ansteckungen kommt. Aber auch dann müssen nicht alle Menschen infiziert werden.
  • Wer im späten Stadium der Epidemie kurz vor dem Erreichen der Herdenimmunität bewusst oder auch aus Leichtsinn andere ansteckt (Fall 3), bewirkt zwar keinen neuen Ausbruch der Epidemie, aber er ist verantwortlich für neue Kranke, die vermieden hätten werden können.
  • Selbstverständlich bewirkt eine Verhaltensänderung der Personen dahingehend, dass weniger Kontakte auftreten und damit die Reproduktionsrate auch ohne den Herdeneffekt sinkt, sehr viel weniger Kranke (Fall 4 von oben). Je früher dies geschieht, und je stärker die Eindämmung ist, umso besser und umso geringer ist der Schaden. Werte für die Reproduktionsrate von deutlich unter 1,0 sind hier anzustreben. Diesen Effekt hatte ich schon im ersten Teil der Veröffentlichung dargestellt.

In der nächsten Folge der Artikelserie von Dr. Sievi werden die Berechnungen für das „echte“ Coronavirus konkret für Bayern durchgeführt. Dabei wird untersucht, ob die „Herdenimmunität“ hier schon wirkt und wie viele Immune (also früher Kranke) dazu vorhanden sein müssten. Auch hier werden wieder Berechnungen unter variierenden Annahmen durchgeführt. Dadurch wird deutlich, welche Wirkungen bestimmte Strategien haben. Untersucht werden die jeweils zu erwartende Gesamtanzahl der Kranken und damit der Toten, die Maximalzahl der Kranken pro Tag und die Dauer bis zur Ausrottung von Corona.

Dr. Christian Sievi

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