Gastbeitrag von Dr. Christian Sievi: Coronavirus aus mathematischer Sicht

Corona: Wie hoch ist das Ansteckungsrisiko für den Einzelnen?

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Dr. Christian Sievi ist Diplom-Mathematiker und als freiberuflicher Wirtschaftsmathematiker bundesweit tätig.

Stephanskirchen - Die Anzahl der Corona-Neuerkrankungen hat deutlich nachgelassen. Sind angesichts dessen überhaupt noch Vorsichtsmaßnahmen notwendig? Oder ist das reine Schikane? Und überhaupt: Wie hoch ist das Ansteckungsrisiko für den Einzelnen? Ein Gastbeitrag von Dr. Christian Sievi aus Stephanskirchen:

Im letzten Bericht zu Corona aus mathematischer Sicht vom 03. Juni waren in den davor liegenden 7 Tagen in Stadt und Landkreis Rosenheim in Summe 9,2 Neuerkrankungen pro 100.000 Einwohnern zu verzeichnen. Derzeit (21. Juli) beträgt diese „7-Tage Inzidenz“ 2,3 für den Landkreis und 6,3 für die Stadt Rosenheim, insgesamt für den gesamten Raum also 4,3. Berechnet auf 100.000 Einwohner haben sich in den letzten 7 Tagen also (gerundet) nur 4 Personen neu angesteckt. Angesichts dieser niedrigen Zahl stellt sich die Frage, ob überhaupt noch Vorsichtsmaßnahmen wie z.B. die Maskenpflicht notwendig sind. Oft wird argumentiert, dies sei reine Schikane und völlig unnötig. Bei der Beantwortung dieser Frage muss unterschieden werden, für welchen Personenkreis bzw. mit welcher jeweiligen Zielsetzung die Frage beantwortet werden soll. Drei Sichtweisen sind hierzu notwendig: 

  1. Die Sicht für den gesamten Staat unter Beachtung nicht nur der jetzigen Situation, sondern auch der zukünftig absehbaren Entwicklung. 
  2. Die Situation aus der egoistischen Sicht einer einzelnen Person und des Risikos, das diese momentan eingehen möchte, solange die Zahlen so niedrig sind wie jetzt. Die Zukunft und die Folgen des Handelns dieser einzelnen Person für andere Personen werden ignoriert. 
  3. Die Situation aus der Sicht einer einzelnen Person auch unter Berücksichtigung ihrer Angehörigen und ihres Freundeskreises bzw. aller Personen, die sie selbst schützen möchte.

Sichtweise des Staates, den wir alle gemeinsam bilden 

Diese Frage ist schnell beantwortet: Die bisherigen Lockerungen haben nicht dazu geführt, dass die Erkrankungen wieder zugenommen haben. Allerdings ist seit Ende Mai auch kein wesentlicher Rückgang zu verzeichnen. Abbildung 1 zeigt hierzu die Entwicklung der neu gemeldeten Fälle am Beispiel des Landkreises Rosenheim seit Ende April.

Abb. 1: Neuerkrankungen pro Tag im Landkreis Rosenheim

Das Virus ist nicht verschwunden, aber aktuell unter Kontrolle. Würde man nun alle Beschränkungen aufheben und zum Zustand „vor Corona“ zurückkehren, befänden wir uns in einer Situation wie in der Zeit, als die ersten wenigen Infektionen auftauchten und die Gefahr massiv unterschätzt wurde. Dass dies keine düsteren, angstmachenden Prognosen sind, kann am Beispiel der Entwicklung in den USA nachvollzogen werden. Zunächst war es dort dank Beschränkungen gelungen, die Neuerkrankungen pro Tag nach dem ersten Anstieg wenigstens konstant zu halten. Wegen zu starker Lockerungen steigen die Infektionen nun wieder exponentiell an. Dank besserer medizinischer Möglichkeiten ist wenigstens die Todesrate fast konstant geblieben (der hell gefärbte Balken zeigt die letzte Woche mit nur zwei Tagen)

Abb. 2: Corona in den USA (Stand 21.7.2020).

Weitere Lockerungen bei uns sollten also nur sehr vorsichtig unter stetiger Beachtung der Infektionszahlen vorgenommen werden. Gegebenenfalls muss auch eine Lockerung zurückgenommen werden. 

Die Situation aus der Sicht des Einzelnen 

Wir betrachten nun die Situation einer einzelnen Person, die sich um Angehörige, Freunde und andere Menschen nicht kümmert und der es egal ist, ob sie bei einer Erkrankung auch andere Menschen gefährdet. Wie hoch ist ihr Risiko, sich bei einem einzigen Nah-Kontakt mit einem beliebigen Menschen hier im Landkreis anzustecken? Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, infolge dieses Kontaktes zu sterben? 

Was hierbei unter einem „Nah-Kontakt“ zu verstehen ist, muss weiter erklärt werden. Gemeint ist ein ungeschützter Kontakt mit einem anderen Menschen, der zu einer Ansteckung führt, wenn der andere Mensch bereits infiziert ist. Hierbei kommt es auf zwei Punkte an: 

(a) Die Menschen müssen die gleiche mit Tröpfchen/ Aerosolen belastete Luft einatmen. Dies ist der Fall, wenn – ohne Maske – die Distanz von 1,5 m deutlich unterschritten wird. Aber auch bei einem Abstand von über 1,5 m wird es in nicht ausreichend belüfteten Räumen zu dieser Übertragung kommen. Den gleichen Effekt hat das Berühren von Gegenständen, die von einem Infizierten vorher mit Tropfen beim Sprechen oder gar Husten „besprüht“ wurden. 

(b) Ein kurzzeitiger Kontakt (etwa ein aneinander Vorbeigehen im Supermarkt) ist weniger gefährlich als ein lang anhaltender Kontakt bei einem gemeinsamen Gespräch, bei gemeinsamen Singen, auf einer Party oder in einer engen Bar mit „schlechter“ Luft. Gleiches gilt für die Häufigkeit, mit der infizierte Gegenstände berührt werden. 

Große Nähe (auch gleicher Raum) und lange Dauer des Treffens sowie gemeinsames Berühren von Gegenständen erhöhen das Ansteckungsrisiko sehr stark. 

Beispiel zur Schätzung des Risikos bei einem einzigen „Nah-Kontakt“ 

Eine junge Frau und ein junger Mann haben sich über eine Partner-App kennen gelernt. Sie treffen sich nun zu einem Gespräch in einem Café im Innenraum abseits in einem etwas versteckten Eck. Dort sitzen sie ohne Maske an einem kleinen Tisch einander gegenüber und unterhalten sich lange. Gefahr von anderen Personen im Café soll nicht ausgehen, weil die Tische ausreichend voneinander entfernt sind und Luftzug herrscht. Aber im gewählten Eck „steht“ die Luft und sie unterhalten sich über zwei Stunden lang. Wegen der gegenseitig aufkeimenden Sympathie kommen sich mit den Gesichtern sehr nahe. Auch schenken sie sich gegenseitig Getränke ein etc. Die Wahrscheinlichkeit, sich anzustecken, soll fast sicher gegeben sein, wenn der andere schon infiziert ist, ohne es zu wissen. 

Wir betrachten nun die Situation aus der Sicht der Frau: Wie groß ist für sie die Wahrscheinlichkeit, auf einen Mann zu treffen, der bereits infiziert ist, und sich dadurch selbst zu infizieren? Umgekehrt gilt dies natürlich genauso. 

In Stadt und Landkreis Rosenheim (hier lebt der Mann) sind aktuell in den letzten 7 Tagen gerundet drei Personen pro 100.000 Einwohnern neu erkrankt. An diesen kann sich die Frau nicht anstecken, weil die Kranken ja (hoffentlich) isoliert sind. Die Frage ist, wie viele Menschen unerkannt die Krankheit in sich tragen und damit andere infizieren können. Bei einer Reproduktionszahl von 1 (dies ist aktuell in etwa der Fall) sind es rechnerisch mindestens drei Personen, die dazu nötig sind. Denn diese drei übertragen Corona wieder auf drei an, bis sie krank werden. Bis diese drei neuen ebenfalls krank werden und dadurch isoliert sind, haben sie wieder drei neue angesteckt und so weiter. Diese Zahlen sind immer als Durchschnittswerte zu betrachten. Tatsächlich schwanken die Neuinfektionen täglich. 

Zusätzlich entsteht das Problem der „Dunkelziffer“. Nicht alle, die mit SARS-CoV-2 infiziert sind, werden so krank, dass sie es erkennen. Sie haben einen sehr leichten Verlauf und fühlen sich nur abgeschlagen. Manche verschweigen eventuell auch die Krankheit. Wie hoch diese Dunkelziffer ist, wird derzeit erforscht. Die „Heinsberg- Studie“ hat eine ca. 10-mal so hohe Dunkelziffer ergeben, das wären also aktuell 30 Personen. Weil diese Studie wegen zu geringer Anzahl der Untersuchten unsicher ist und ich nicht übertreiben möchte, gehe ich in der Beispielrechnung davon aus, dass pro 100.000 Einwohnern aktuell 10 infiziert sind, ohne es zu wissen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Frau also ein infizierter Mann gegenübersitzt, ist somit 5 / 50.000 (nur die Hälfte der Menschen sind Männer). Ganz einfach können wir auch mit dem gleichen Ergebnis 10 / 100.000 rechnen. Die Wahrscheinlichkeit sich anzustecken beträgt also nur ein-hundertstel Prozent. Als Zahl ist das 0,01 %. Und die Wahrscheinlichkeit, daran zu sterben, ist für junge Menschen grob erneut 1 %, also ein-zehntausendstel Prozent. Kann man sich also zu so einem „Date“ unbesorgt treffen? 

Veranschaulichung der Wahrscheinlichkeit bei einem einzigen „Nah-Kontakt“ 

Zur Veranschaulichung dieser Wahrscheinlichkeit hilft folgender Vergleich: 

In einem großen undurchsichtigen Behälter (einer „Urne“) liegen gut gemischt 9.999 grüne Kugeln und eine rote Kugel. Sie müssen nun einmal ziehen. Ziehen Sie eine grüne Kugel, bleiben sie gesund. Erwischen Sie die rote Kugel, erkranken Sie. In diesem Fall müssen Sie aus einer weiteren Urne ziehen, in der 99 grüne und 1 rote Kugeln sind. Ziehen Sie die rote Kugel, sterben Sie. Bei der grünen werden Sie nach milder oder schwerer Krankheit wieder gesund.

Abb. 3 - Vergleichsgrößen zur Wahrscheinlichkeit:

Vergleichsgröße

Wahrscheinlichkeit in 

Prozent

Lotto: 4 Treffer (mit oder ohne Superzahl)

0,0968619724

5 mal hintereinander mit einem Würfel die „6“ werfen

0,0128600823

Erkrankung in obigem Beispiel

0,0100000000

Lotto: 5 Treffer (mit oder ohne Superzahl)

0,0018449900

Todesfall in obigem Beispiel

0,0001000000

Lotto: 6 Treffer (mit oder ohne Superzahl)

0,0000071511

Man kann sich gut vorstellen, dass diese geringen Wahrscheinlichkeiten nur wenige Menschen abhalten, sich mit anderen zu zweit zu treffen. 

Ist damit alles gut? Oder muss man auch als Einzelner mehr bedenken? 

Leider stimmt die obige Berechnung nur dann, wenn sich die junge Dame im Beispiel mit einem willkürlich aus der Gesamtbevölkerung des Landkreises ausgewählten Mann trifft (also vom Baby bis zum Greis ohne weitere Auswahl). Die Menschen sind aber unterschiedlichen Risiken ausgesetzt – teilweise berufsbedingt – teilweise durch eigenes Verhalten. Dann stimmt die „Durchschnittsrechnung“ nicht mehr! 

Nehmen wir an, der junge Mann erzählt während des Gesprächs begeistert von einer geheimen „Corona-Party“ im Keller eines Freundes, auf der 100 Personen anwesend waren, die alle eng bei- und durcheinander gefeiert haben. Dann hatte er – sofern auf der Party der Durchschnitt der Bevölkerung anwesend war – 100 mal die „Chance“, sich anzustecken. Wenn er sich bei jedem Kontakt mit der Wahrscheinlichkeit von 0,01 % infiziert (siehe oben), ist er bereits mit 1,00 Prozent selbst angesteckt und steckt nun mit dieser Wahrscheinlichkeit die junge Frau an. Ganz genau berechnet sind es 0,9951 % (siehe Zwischenbemerkung). Ich denke, dass die meisten Menschen nun fluchtartig das Gespräch beenden würden. 

  • Zwischenbemerkung: Die genaue Wahrscheinlichkeit bei 100 verschiedenen Kontakten muss man über einen „Umweg“ berechnen: Man bestimmt zuerst, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich der Student nicht ansteckt. Die Wahrscheinlichkeit sich zu infizieren, beträgt dann 100% minus die Wahrscheinlichkeit, sich nicht zu infizieren. Die Formel dazu lautet im Beispiel: 100 – ((1-0,0001) hoch 100) x 100 = 0,9951 %, also praktisch wieder 1,00 %. Der Unterschied zur ersten ungenauen Berechnung mit Ergebnis exakt 1 liegt darin, dass bei der ersten Berechnung die mehrfache Ansteckung mitgezählt wird. Es reicht aber, sich einmal anzustecken. Die exakte Berechnung ist notwendig, wenn die Ausgangswahrscheinlichkeit bei einem Nah- Kontakt größer ist. Siehe hierzu den Fall, in dem sich die junge Frau 10 mal mit Personen trifft, die mit Wahrscheinlichkeit von 1 % infiziert sind.

Würde der junge Mann hingegen erzählen, dass er wegen einer Prüfung die letzten 14 Tage praktisch dauernd in seinem Zimmer gelernt hat und nur zum Einkaufen mit Maske unterwegs war, könnte sich die junge Frau noch sehr viel sicherer fühlen als bei einem „Durchschnittsmann“ mit der Wahrscheinlichkeit von 0,01 %.Das Ansteckungsrisiko ist praktisch ausgeschlossen.

Sichtweise des Einzelnen bei mehreren Kontakten 

Die obige Berechnung gilt natürlich auch für die junge Frau: Wenn sie sich insgesamt 100-mal mit einem „Durchschnittsmann“ trifft, ist ihre Wahrscheinlichkeit, sich anzustecken, auch exakt 0,995 %. Dabei ist es völlig gleichgültig, ob dies 100 Nah-Kontakte mit jeweils einem einzelnen „Durchschnittsmann“ oder die Teilnahme an 10 Corona-Partys mit jeweils 10 Teilnehmern ist. Immer wird hierbei angenommen, dass von 100.000 Einwohnern 10 infiziert sind. 

Richtig schlimm wird es, wenn sich die junge Frau im Lauf der Zeit mit 10 Kontakten trifft, die wie der oben beschriebene Fall alle glauben, Corona sei völlig harmlos und eine „kleine Grippe“. Vielleicht hat sie sich auf der Partner-App so präsentiert und lockt dadurch entsprechende Partner an. Sie trifft dann auf Personen, die mit 1 % Wahrscheinlichkeit krank sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich bei einem dieser Treffen ansteckt, grob berechnet 10 %. Der exakte Wert ist 9,52 %! 

Sichtweise des Einzelnen mit sozialer Verantwortung 

Wenn die junge Frau sich ansteckt, wird sie im Schnitt ca. 4 Tage lang andere Menschen infizieren, bis sie ihre Krankheit erkennt. Trifft sie sich während dieser Zeit ohne weitere Vorsichtsmaßnahmen mit anderen Menschen, kann sie auf diese die Krankheit übertragen. 

Wenn die junge Frau infiziert wurde und Glück hat, erkrankt sie nur sehr leicht oder bemerkt ihre Erkrankung gar nicht. Sie gehört nach der Ansteckung zur „Dunkelziffer“. Sie trifft sich ohne weitere Vorsichtsmaßnahmen mit ihren Eltern, Geschwistern und auch Großeltern und kann diese anstecken, bis sie selbst wirklich frei von Corona ist. Man rechnet hier mit 14 Tagen. Den Rest der Geschichte brauche ich nicht zu erzählen. So kommt Corona in die Welt! 

Allgemeine Ergebnisse 

Das obige Beispiel zeigt, dass es zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit sich zu infizieren auf folgende Größen ankommt. 

a) Wie viele Personen sind pro 100.000 Personen aktuell ansteckend, aber nicht isoliert? Im Beispiel waren wir von 10 Personen ausgegangen, die wir aus einer 7- Tage-Inzidenz von 3 geschätzt hatten. Würde die 7 Tage-Inzidenz auf 30 steigen, könnte man vielleicht von 100 ansteckenden Personen ausgehen. Für wirklich verlässliche Zahlen müssen wir weitere Studien abwarten. Die Zahl der jeweils angenommenen aktuell ansteckenden Personen ist in der ersten Spalte der Tabelle eingetragen. Der Wert 10 des Beispiels ist fett markiert. 

b) Wie viele Nah-Kontakte hat die Person? Einen Nah-Kontakt habe ich so definiert, dass man sich bei diesem Kontakt mit hoher Wahrscheinlichkeit ansteckt. Beim Studenten waren dies 100 Kontakte auf der „Corona-Party“ (fett markiert). Für die Wahrscheinlichkeit der Ansteckung ist es aber völlig unerheblich, ob diese 100 Kontakte bei einer Party oder jeweils in zeitlichem Abstand nacheinander stattfinden.

Die Werte in der Tabelle geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit man in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen infiziert wird. Im Beispiel war die 0,9951 %, gerundet 1,00 % (fett markiert). 

Die Tabelle zeigt uns, dass wir umso gefährdeter sind, je höher zum einen die Anzahl der aktuell ansteckenden Personen pro 100.00 ist und zum anderen je mehr Nah- Kontakte wir haben. Kein Wunder, dass Boris Johnson und Jair Bolsonaro sich angesteckt haben. Deren Wahrscheinlichkeit lag im zweistelligen Bereich, da sie bei ihren Auftritten nachweislich vielen Menschen sehr nahe kamen (z.B. beim Händeschütteln mit Anhängern). Donald Trump hatte entweder Glück oder er wird trotz seiner großen Worte abgeschirmt. 

Stark gefährdet sind all jene Personen, die viele Kontakte wegen ihres Berufs haben und nicht die Möglichkeit haben, sich durch soziale Distanz zu schützen. Für ihre Sicherheit reicht es nicht, wenn nur sie selbst eine Maske tragen. Beim Kontakt mit diesen exponierten Menschen ist es auch unsere Pflicht, die Maske korrekt zu tragen und Abstand zu halten, so gut es geht!

Factbox: Ansteckung am Ballermann 

Bei der Betrachtung der Bilder vom Ballermann und ähnlicher Treffen von vielen Menschen aus den unterschiedlichsten Gründen fragt man sich, warum aus diesen Veranstaltungen nicht sehr viel mehr Infektionen resultieren. Wenn wir von 10 unbekannten, aktuell ansteckenden Personen pro 100.000 Personen ausgehen und mehr als 500 Personen anwesend sind, müssten es ja schon fast 5 %, also von 500 Personen 25 Infizierte sein (siehe Abb. 4). 

Die Frage ist aber, ob z. B. ein Teilnehmer des Festes am Ballermann wirklich 500 Nahkontakte hatte. Wenn die Veranstaltung so abläuft, dass sich Gruppen von maximal 10 Personen bilden, die beisammen bleiben, ist die Wahrscheinlichkeit für den Einzelnen maximal 0,1 % (siehe Abb. 4). Bei 50 solcher Gruppen ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass nur eine Person aus den ganzen 500 Teilnehmern erkrankt, gleich 5 %. Dies gilt selbstverständlich nur, wenn die Veranstaltung im Freien oder in sehr gut durchlüfteten Räumen stattfindet!

Artikelserie von Dr. Christian Sievi: Coronavirus aus mathematischer Sicht

Dr. Christian Sievi

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