Gastbeitrag von Dr. Christian Sievi - Coronavirus aus mathematischer Sicht

Corona: Steigende Inzidenz wegen steigender Anzahl von Tests?

Dr. Christian Sievi ist Diplom-Mathematiker und als freiberuflicher Wirtschaftsmathematiker bundesweit tätig.
+
Dr. Christian Sievi

Liegen die hohen Corona-Inzidenzen in der Region an der Anzahl der durchgeführten Corona-Testungen? Diplom-Mathematiker Dr. Christian Sievi klärt auf.

Am Donnerstag, den 18. Februar, hatte die Stadt Rosenheim mit einer 7-Tage-Inzidenz von 37,8 den niedrigsten Stand seit Beginn der zweiten Welle. Aktuell (Samstag, 20. März) beträgt die 7-Tages-Inzidenz 192,0. In Abbildung 1 ist ersichtlich, wie sich die Lage im Landkreis Rosenheim und den Landkreisen Altötting, Berchtesgadener Land, Mühldorf und Traunstein im gleichen Zeitraum entwickelt hat. Dort ist der Anstieg nicht so stark wie in Rosenheim Stadt, aber dennoch sehr deutlich. Bis auf den Landkreis Rosenheim wurde hierbei die Marke von 100 überschritten, sodass die „Corona-Notbremse“ gilt. 

Abbildung 1: Entwicklung der Inzidenzwerte

Immer wieder ist nun zu hören, dass diese Zuwächse darauf zurückzuführen sind, dass nun vergleichsweise mehr getestet wird und deshalb auch mehr Fälle entdeckt werden. Entsprechend würde die 7-Tagesinzidenz steigen. Ohne steigende Testanzahl wäre die Inzidenz wesentlich niedriger. Vereinfacht ausgedrückt lautet die These: Doppelte Testanzahl = doppelte Inzidenz. Damit wäre die Inzidenz als Maßstab zur Erfassung des Ausmaßes der Pandemie nicht geeignet, solange sie nicht auf die Testanzahl bezogen wird. Die Frage der Beschränkungen in den Landkreisen sei reine Willkür. Diese These wurde im Internet besonders im Landkreis Berchtesgaden verbreitet. 

Stimmt diese Argumentation? Wie verändern höhere Fallzahlen die ausgewiesene Inzidenz? Folgende Überlegungen, die zunächst am Beispiel einer Wahlumfrage gezeigt werden, helfen hier weiter:

Wenn in einem Landkreis ermittelt werden soll, wie Personen aktuell die Partei X wählen wollen, muss eine repräsentative Stichprobe befragt werden. „Repräsentativ“ heißt, dass Frauen und Männer, alle Altersgruppen, Berufe und sozialen Verhältnisse entsprechend ihrem Anteil an der Gesamtbevölkerung in der Stichprobe vertreten sind. Dazu sind mindestens 1.000 Personen notwendig. Bei 1.000 Befragten sollen 300 die Partei X bevorzugen. Werden 2.000 Personen befragt, sind es (mit statistischer Abweichung) 600 Anhänger der Partei X u.s.w. Tatsächlich gilt: Je mehr befragte Personen, umso mehr Anhänger. Die Ergebnisse sind nur sinnvoll, wenn man die Prozentzahl der Anhänger berechnet. Es sind immer 30 Prozent.

Das völlig analoge Ergebnis würde man erhalten, wenn die Anzahl der in den letzten 7 Tagen an Corona erkrankten Personen anhand einer repräsentativen Stichprobe ermittelt würde. Diese Stichprobe müsste im Gegensatz zur Wahlbefragung mindestens 10.000 Personen umfassen, weil man sonst zu wenige Infizierte findet. Bei 100 Infizierten pro 100.000 Personen (wirkliche 7 Tages-Inzidenz 100) würde man bei einer Stichprobe von 10.000 Personen statistisch 10 neu Infizierte finden, bei einer Stichrobe von 20.000 Personen 20 neu Infizierte usw. Als Inzidenz würde dann 10 bzw. 20 angegeben werden. Die oben genannte These: „Doppelt so viele Tests = doppelt so viele Fälle“ wäre richtig und das Ergebnis für die 7 Tagesinzidenz falsch. Im Beispiel würde man die Inzidenz deutlich unterschätzen.

Inzidenz aus Stichprobe?

Richtig wäre das Ergebnis nur, wenn die gefundene Anzahl der Infizierten auf die Stichprobenanzahl bezogen wird. Dann hätte man den wirklichen Anteil der neu Infizierten an der Bevölkerung, nämlich 100 pro 100.000 bzw. 0,1 Prozent. Man fragt sich, warum die Inzidenz nicht anhand einer Stichprobe erhoben wird und wie gezeigt gerechnet wird. 

Der Grund hierfür ist offensichtlich: Man müsste Woche für Woche pro Landkreis mindestens 10.000 vorab repräsentativ ausgesuchte Personen testen. Eine Befragung würde nicht ausreichen, weil der Anteil „asymptomischer“ Erkrankungen hoch ist. Diese Personen haben keine oder nur leichte Erkrankungsanzeichen und würden einen Schnupfen, aber nicht Corona als Erkrankung angeben. Dennoch sind sie ansteckend. Wenn aus der zu testenden Auswahl bestimmte Personen nicht erscheinen (weil sie z. B. ihre Infektion verschweigen wollen) müssten sie zwangsweise vorgeführt werden. Sonst ist es so, als wenn bei der Befragung über den Wähleranteil der Partei X bewusst überwiegend Gegner dieser Partei gefragt werden oder umgekehrt überwiegend Anhänger dieser Partei. Man sieht, dass derartige Methoden eventuell in Diktaturen durchführbar sind, aber nicht zu Deutschland passen.

Wie wirkten sich nun mehr Tests wirklich auf die 7-Tagesinzidenz aus? Dazu müsste man wissen, wie sich der Personenkreis der Getesteten zusammensetzt und wie repräsentativ er entsprechend ist. Genaue Zahlen dazu gibt es nicht. Der Grund dafür ist, dass viele Tests beim Hausarzt oder in Altenheimen durchgeführt werden. Diese Tests werden nur dann im Landratsamt registriert, wenn sie positiv sind. Auch eine Meldepflicht bei negativen Tests einzuführen, nur um genauere Zahlen zu bekommen, würde nur noch mehr Bürokratie bedeuten, die ansonsten beklagt wird.

Genaue Zahlen sind aber gar nicht notwendig, Denn wir können mit plausiblen Annahmen arbeiten und diese dann variieren. So gewinnt man ein gutes Bild. Insbesondere wird dadurch deutlich, wie sich Annahmen auf das Ergebnis – die 7 Tagesinzidenz – auswirken.

Berechnungsbeispiel

Alle folgenden Berechnungen beziehen sich zunächst auf 100.000 Personen. Im Basisbeispiel sollen von diesen 100.000 in den letzten 7 Tagen in Wirklichkeit 100 Personen neu an Corona erkrankt sein, gleichgültig ob sie Krankheitsbilder aufweisen oder scheinbar ohne wesentliche Krankheitsbilder gesund sind. Die „wahre“ Inzidenz ist dann 100 oder 0,1 Prozent der Bevölkerung. Diese Zahl wollen wir eigentlich wissen. Wir können sie aber nur exakt ermitteln, wenn wir alle 100.000 Personen testen oder eine repräsentative Stichprobe ziehen (siehe oben).

Wir setzen nun die Annahme, dass von den 100 wirklich Infizierten nur 25 Krankheitsmerkmale aufweisen und sich entsprechend testen lassen. Die anderen 75 Personen wissen nichts von ihrer Erkrankung oder ignorieren leichte Anzeichen, weil es ihnen ansonsten gut geht. Das ist die sogenannte „Dunkelziffer“. In der „Heinsberg-Studie“ und anderen Studien wurde geschätzt, dass nur 25 Prozent der wirklich Kranken Symptome aufweisen und 75 Prozent „asymptomisch“ sind, also die Dunkelziffer bilden. Es spricht vieles dafür, dass die Dunkelziffer wegen höherer Testzahlen nun deutlich geringer ist. Wie sich andere Dunkelziffern auf die Berechnung auswirken, wird später gezeigt.

Wir können davon ausgehen, dass sich alle oben genannten 25 Personen mit Symptomen testen lassen und ein positives Ergebnis aufweisen. Für diese Personengruppe gilt also: Je höher die Anzahl der wirklich Infizierten, umso höher die Testanzahl. Nicht die Tests treiben für diese Gruppe die Anzahl der gefundenen Infizierten hoch, sondern die Infizierten die Testanzahl. 

Wird keine einzige weitere Person getestet, wird in der Statistik des Robert-Koch-Instituts (RKI) ein Inzidenzwert von 25 ausgewiesen. Dieser Wert liegt weit unter der tatsächlichen Fallzahl von 100. Weitere 75 Personen bzw. 0,075 Prozent tragen die Seuche weiter. Dies ist der Grund, warum ohne Beschränkungen bis zum Erreichen der „Herdenimmunität“ oder ausreichender Impfung die Epidemie fortschreitet.

Von den 100.000 betrachteten Personen abzüglich 25 bereits gefundenen Personen können 75 Personen (0,075 Prozent), durch weitere Tests gefunden werden. Im Extremfall nehmen wir an, dass von den 100.000 betrachteten Personen 10.000 Personen zusätzlich pro 7 Tagen getestet werden. Das sind 10 Prozent der Bevölkerung pro Woche, eine Zahl, die nur schwer erreichbar ist.

Im Beispiel gehen wir davon aus, dass diese 10 Prozent in etwa repräsentativ für die Gesamtbevölkerung sind. Um das genauer zu erkennen, müssten die Motive für den Test bekannt sein. Wenn sich Personen testen lassen, die Risikogruppen angehören oder Urlaubsrückkehrer aus Risikogebieten sind, ist die Wahrscheinlichkeit, unter Ihnen Infizierte zu finden, höher als der oben berechnete Anteil, also höher als 0,075 Prozent. Sind es Personen, die sich aus Sorge um Familienangehörige dem Test unterziehen (z. B. Besuch bei den Eltern oder Großeltern) oder wegen ihrer Tätigkeit z. B. in Seniorenheimen getestet werden, ist der Anteil kleiner als 0,075 Prozent, weil es sich dann um Menschen handelt, die sich risikobewusst verhalten.

Ich gehe davon aus, dass sich beide Gruppen in etwa ausgleichen. Dann finden wir bei 10.000 zusätzlich ohne Symptome getesteten Personen 0,075 Prozent weitere Infizierte, also 7,5 Personen. In diesem Fall wird eine Inzidenz von 32,5 vom Robert-Kochinstitut ausgewiesen. Die 10.000 zusätzlichen Tests haben im Beispiel eine Erhöhung des ausgewiesenen Werts von 25 auf 32,5, also um 7,5 bewirkt. Bei nur 1.000 zusätzlichen Tests ohne vorliegende Symptome wäre die Erhöhung des Inzidenzwertes 0,75. Allgemein steigt im Basisbeispiel die Inzidenz bei 1.000 zusätzlichen Tests (bezogen auf 100.000 Personen) pro Woche um 0,75. Dies gilt auch, wenn im Vergleich von Inzidenzwerten früher weniger und nun mehr zusätzliche Tests durchgeführt werden.

Zu beachten ist, dass wir auch bei 10.000 zusätzlichen Tests pro 100.000 Gesamtbevölkerung (also 10 Prozent zusätzlich getesteten Personen) und damit im Beispiel insgesamt 10.025 Tests (25 Personen kommen wegen Krankheitssymptomen und 10.000 aus anderen Gründen) nur eine Inzidenz von 32,5 erkennen würden, obwohl diese wirklich 100 ist!

Wie verändern sich die Ergebnisse bei anderen Basisdaten? 

Die folgenden vier Tabellen zeigen allgemeine Berechnungsergebnisse. Die erste Tabelle zeigt die Ergebnisse für den Inzidenzwert ohne zusätzliche Tests. Es werden also nur diejenigen getestet, die wegen typischen Corona-Symptomen selbst zum Arzt gehen. Die zweite Tabelle zeigt die 7 Tages-Inzidenz mit 10.000 zusätzlichen Tests pro 100.000 Einwohnern pro Woche. Es werden also 10 Prozent der Bevölkerung in 7 Tagen zusätzlich getestet. In der dritten Tabelle ist die Differenz der Ergebnisse berechnet. In der vierten Tabelle wird die Zunahme der Inzidenz in Prozent erfasst. In allen drei Tabellen werden die gesetzten Annahmen variiert. 

In den Kopfzeilen der Tabellen wird die Dunkelziffer – also die Anzahl der Infizierten ohne Symptome – verändert. Die Werte reichen von 75 bis 40 Prozent der Dunkelziffer. Dies entspricht 25 bis 60 Prozent der Infizierten, die Symptome aufweisen. Dies ist der realistische Bereich.

In der linken Randspalte der Tabellen ist die wirkliche 7-Tages-Inzidenz angegeben, also die Anzahl der Personen pro 100.000, die tatsächlich mit oder ohne Symptomen erkrankt ist. Hier sind Werte von 50 bis 1.000 erfasst. 

Der Tabelleninhalt in der ersten und zweiten Tabelle ist die Anzahl der jeweils gefundenen positiven Testergebnisse, also die 7-Tages-Inzidenz, die vom RKI publiziert und allgemein in der Öffentlichkeit genannt wird. 

Die dritte Tabelle hat die Veränderung zum Inhalt, wenn 10 Prozent der Bevölkerung pro Woche zusätzlich getestet werden. In der vierten Tabelle ist diese Veränderung in Prozent abgegeben. Dies ist das letztlich interessante Ergebnis. Dieses Ergebnis bleibt unverändert, wenn früher z.B. bereits schon 5 Prozent der Bevölkerung getestet und nun 10 Prozent mehr als früher zusätzlich getestet werden, also aktuell 15 Prozent.

Tabelle 1: Ohne zusätzliche Tests
Tabelle 2: 10 Prozent der Bevölkerung werden zusätzlich getestet.
Tabelle 3: Differenz der ausgewiesenen Inzidenz bei 10 Prozent mehr Tests.
Tabelle 4: Zunahme der ausgewiesenen Inzidenz.

Auswertung der Tabellen

Die Werte aus dem oben durchgerechneten Beispiel sind in den Tabellen fett markiert. Aus den Tabellen können folgende Ergebnisse abgelesen werden:

Tabellen 1 und 2:

  • Spalten der Tabellen: Die gefundenen Erkrankungen (also die vom RKI ausgewiesene 7-Tagesinzidenzen) nehmen proportional mit der wirklichen 7-Tages-Inzidenz zu. Doppelt so hohe wirkliche Inzidenz bedeutet eine doppelt so hohe ausgewiesene Inzidenz. Zwar wird der wirkliche Wert der Infizierten nie erreicht, aber die Inzidenz ist ein guter Indikator für das reale Geschehen.
  • Zeilen der Tabellen: Der ausgewiesene Inzidenzwert bei gleicher wirklicher Inzidenz hängt vom Anteil der Infizierten mit Symptomen ab. Ist dieser Anteil doppelt so hoch bzw. die Dunkelziffer entsprechend kleiner, findet man doppelt so viele Infizierte. 

Tabellen 3 und 4:

  • Die Differenz in der ausgewiesenen Inzidenz bei 10 Prozent mehr zusätzlichen Tests (bezogen auf die jeweilige Bevölkerung) nimmt mit der wirklichen Inzidenz proportional zu und mit der Dunkelziffer ab. 
  • Die Veränderung in Prozent ist völlig unabhängig von der wirklichen Inzidenz und der jeweils gemessenen Inzidenz. Die Prozentzahl hängt nur noch von der Dunkelziffer ab. Bei einer Dunkelziffer von 75 Prozent (Anzahl der Infizierten mit Symptomen 25 Prozent) beträgt die Zunahme 30 Prozent, bei einer Dunkelziffer von 40 Prozent nur noch 6,7 Prozent. 
  • Wenn nicht 10 Prozent der Bevölkerung zusätzlich pro Monat zusätzlich getestet werden, sondern 5 Prozent, ist die prozentuale Zunahme der Inzidenz nur halb so groß, also maximal 15 Prozent.

Die These „Doppelt so viele Tests führen zu doppelt so hoher Inzidenz“ ist also falsch.

Beispiel in den Landkreisen:

Nachfolgend wird der in den Landkreisen gemäß Abbildung 1 gemessene prozentuale Zuwachs dem möglichen Zuwachs bei realistischer zusätzlicher Testanzahl gegenüber gestellt. Leider kann ich bei der Testanzahl nur auf Zahlen zurückgreifen, die in der Presse bzw. im Internet für Rosenheim und Berchtesgaden genannt wurden. 

Für Rosenheim und Region werden aktuell ca. 1.000 Tests im Testzentrum für Stadt und Land genannt. Das sind in der Woche circa 7.000 Tests auf 325.000 Einwohner, also 2,15 Prozent pro Woche pro 100.000 Einwohnern. Selbst wenn bei Ärzten die gleiche Anzahl hinzukommt, werden es nicht über 5 Prozent der Bevölkerung pro Woche. Dass bereits auch am 18. Februar getestet wurde und nur die Differenz maßgeblich ist, lasse ich weg.

Für Berchtesgaden werden im Internet in der zweiten Kalenderwoche 2,5 Prozent und in der achten Kalenderwoche 5,6 Prozent Tests an der Gesamtbevölkerung insgesamt genannt. Ich runde auch diesen Zuwachs von 3,1 Prozent ebenfalls auf 5 Prozent Zuwachs auf.

Als Dunkelziffer für den Vergleich des Zuwachses, der maximal auf erhöhte Testanzahl zurückzuführen ist, verwende ich 75 Prozent, also wieder den maximal realistischen Wert. Für die anderen Landkreise gehe ich von identischen Voraussetzungen aus. Damit ergibt sich gemäß Tabelle 4 die Hälfte des dort genannten Zuwachses, also maximal die Hälfte von 30,, nämlich 15 Prozent. Abbildung 2 zeigt dieses Ergebnis im Vergleich zu den tatsächlichen Zuwächsen.

Abbildung 2: Vergleich des tatsächlichen Anstiegs mit dem maximal durch erhöhte Testanzahl erklärbaren Anstiegs.

Weder in Rosenheim noch in den Landkreisen ist der Anstieg in der Inzidenz auf erhöhte Testzahlen zurückzuführen. Die Infektionsgefahr steigt exponentiell an. Wir befinden uns am Beginn der dritten Welle.

Wenn die Dunkelziffer 50 Prozent ist, beträgt unter sonst gleichen Bedingungen der erklärbare Zuwachs nur 3,3 Prozent! 

Fazit: 

Die fortwährenden Beschränkungen nerven viele Bürger und die Existenz mancher Betriebe und Selbstständiger ist bedroht. Ihnen muss solidarisch finanziell zeitnah geholfen werden!

Es hilft aber nicht weiter, wenn die Inzidenz als Maßstab für die Verbreitung der Seuche angezweifelt wird und man sich daraus Öffnungen verspricht. Das wirkliche Ausmaß der Seuche schön zu reden oder neue Grenzwerte zu fordern, hilft ebenso wenig weiter, wie bei einem Patienten mit hohem Fieber das Thermometer weg zu werfen oder Fieber erst ab einer Temperatur von mehr als 40 Grad zu definieren und den Patienten entsprechend nicht zu behandeln! 

Wie gezeigt wurde, verändern sich die Inzidenzwerte auch bei sehr hohen Testanzahlen nicht massiv. Die Aussage „doppelte Testanzahl = doppelte Inzidenz“ ist falsch! Sicherlich kann es vorkommen, dass mit geringer Testanzahl die Inzidenz knapp unter 100, mit mehr Tests knapp über 100 liegt und sich daraus Konsequenzen hinsichtlich der Öffnung ergeben. Wenn man aber weiß, dass die gemessene Inzidenz weit unter der wirklichen Inzidenz liegt (siehe Tabellen 1 oder 2), wird man nicht fragen, ob Ansteckungsgefahren durch Öffnungen riskiert werden sollen oder nicht. Dies alles aktuell bei einem R-Wert von deutlich über 1 für die gefährlichen Corona-Varianten, die sich rasch ausbreiten und ein exponentielles Wachstum aufweisen.

Ich möchte diejenigen bitten, die besonders unter Beschränkungen leiden, dafür einzutreten, dass weitere Ansteckungen verhindert werden. Dies kann nur durch möglichst wenige Kontakte erreicht werden. Bei unverzichtbaren Kontakten müssen die Hygienemaßnahmen streng eingehalten werden und Tests vorab die Ansteckungsgefahr minimieren. 

Ein Verzicht heute bedeutet Freiheit in der Zukunft! Diese Freiheit hätten wir schon ohne die neuen, gefährlichen Varianten. Aktuell müssen wir die Impfung vorantreiben, damit gefährdete Personen geschützt werden und die Ausbreitung der Seuche gebremst wird. Dann werden wir – auch mit und gerade wegen viel mehr Tests – dauerhaft sinkende Werte erleben und die alte Freiheit zurückgewinnen! 

Artikelserie von Dr. Christian Sievi: Coronavirus aus mathematischer Sicht

Kommentare